解：$(2)$证明：设$“$三联一$”$数为$\overline {aaa}1(1≤a≤9$，$a$为整数$)$
∴$a+a+a+1=3a+1=3(a+\frac {1}{3})$
∵$a$是整数
∴$3(a+\frac {1}{3})$不能被$3$整除
∴$3a+1$不能被$3$整除
∴任意$“$三联一$”$数不能被$3$整除
$(3)$设这两个$“$三联一$”$数为$\overline {aaa}1$和$\overline {bbb}1(1≤a≤9$，$1≤b≤4$，且$a$，$b$都是整数，$a≠b)$
则有：$2(\overline {aaa_{1}}+50)+3(\overline {bbb_{1}}+75)$
$=13(171a+256b+25)+2b-3a+5$
$=13k(k$为正整数$)$
∵$1≤a≤9$，$1≤b≤4$，且$a$，$b$为整数
∴$-10≤2b-3a≤10$
∴$2b-3a+5=-13$或$0$
∴$2b-3a=-18$或$-5$
∴$a=8$，$b=3$或$a=3$，$b=2$
∴这两个数为$8881，3331$或$3331，2221$
