解：$(1)$由题意，得$M=(x+2)(x+9)-(x+4)(x+7) $
$=x²+11x+18-(x²+11x+28)$
$=-10$
所以该组平衡数的平衡因子$M=-10$
$(2)$因为$a$，$b$，$c$，$d$是一组平衡数，$a=4$，$d=3$
所以$(x+4)(x+3)-(x+b)(x+c)=M$
所以$M=x²+7x+12-[x²+(b+c)x+bc] $
$=(7-b-c)x+12-bc$
因为$M$是常数，所以$7-b-c=0$
所以$b+c=7$
所以$b$，$c $的一组值可以是$b=1$，$c=6$
$(3)$当$a+d=b+c $时，它们是一组平衡数，理由如下:
因为$a+d=b+c$，
所以$(x+a)(x+d)-(x+b) (x+c)$
$=x²+(a+d)x+ad-[x²+(b+c)x+bc]$
$=[(a+d)-(b+c)]x+ad-bc$
$=ad-bd$
因为$a$，$b$，$c$，$d$是常数
所以$ad-bd$是常数
所以$a$，$b$，$c$，$d$是一组平衡数
