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 $\begin{aligned}&\frac{a}{a - b}\div\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}-2ab + b^{2}}-\frac{a - b}{a + b}\\=&\frac{a}{a - b}\cdot\frac{(a - b)^{2}}{(a + b)(a - b)}-\frac{a - b}{a + b}\\=&\frac{a}{a + b}-\frac{a - b}{a + b}\\=&\frac{a-(a - b)}{a + b}\\=&\frac{a - a + b}{a + b}\\=&\frac{b}{a + b}\end{aligned}$

 因为$b - 2a = 0，$即$b = 2a，$所以原式$=\frac{2a}{a + 2a}=\frac{2}{3}。$

 解：

(1)

 $\begin{aligned}A&=\frac{3}{a - b}-\frac{2a + 2b}{a^{2}-b^{2}}\\&=\frac{3}{a - b}-\frac{2(a + b)}{(a + b)(a - b)}\\&=\frac{3}{a - b}-\frac{2}{a - b}\\&=\frac{3 - 2}{a - b}\\&=\frac{1}{a - b}\end{aligned}$

 (2)因为点$P(a,b)$是一次函数$y = x+\sqrt{2}$图象上的点，所以$b = a+\sqrt{2}，$即$b - a=\sqrt{2}，$则$A=\frac{1}{a - b}=-\frac{1}{b - a}=-\frac{\sqrt{2}}{2}。$

 解：

(1)

 $\begin{aligned}A - B&=a^{2}+2b-(2b - 1)\\&=a^{2}+2b - 2b + 1\\&=a^{2}+1\end{aligned}$

 因为$a^{2}\geq0，$所以$a^{2}+1＞0，$即$A - B＞0。$

(2)

 $\begin{aligned}\frac{a + 1}{b + 1}-\frac{a}{b}&=\frac{b(a + 1)-a(b + 1)}{b(b + 1)}\\&=\frac{ab + b - ab - a}{b(b + 1)}\\&=\frac{b - a}{b(b + 1)}\end{aligned}$

 因为$b＞a＞0，$所以$b - a＞0，$$b(b + 1)＞0，$所以$\frac{b - a}{b(b + 1)}＞0，$即$\frac{a + 1}{b + 1}＞\frac{a}{b}，$分式$\frac{a + 1}{b + 1}$的值增大了。

(3)

 $\begin{aligned}\frac{a + c}{b + c}-\frac{a}{b}&=\frac{b(a + c)-a(b + c)}{b(b + c)}\\&=\frac{ab+bc - ab - ac}{b(b + c)}\\&=\frac{c(b - a)}{b(b + c)}\end{aligned}$

 因为$b＞a＞0，$当$c＞0$或$c＜-b$时，$\frac{c(b - a)}{b(b + c)}＞0，$即$\frac{a + c}{b + c}＞\frac{a}{b}；$当$-b＜c＜0$时，$\frac{c(b - a)}{b(b + c)}＜0，$即$\frac{a + c}{b + c}＜\frac{a}{b}。$