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 解：由表格可知，当$x = 1$时，$x^{2}+3x - 5=-1\lt0；$当$x = 2$时，$x^{2}+3x - 5 = 5\gt0$

 所以方程$x^{2}+3x - 5 = 0$的一个正数解介于整数$1$和$2$之间，即$a = 1，$$b = 2$

 则$a + b=1 + 2 = 3$

解： （1）对于一元二次方程$x^{2}-2mx + m^{2}-1 = 0，$其中$a = 1，$$b=-2m，$$c=m^{2}-1$

 $\Delta=b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4\times1\times(m^{2}-1)=4m^{2}-4m^{2}+4 = 4\gt0$

 所以方程有两个不相等的实数根。

 （2）解方程$x^{2}-2mx + m^{2}-1 = 0$

 因式分解得$(x - m + 1)(x - m - 1)=0$

 则$x - m + 1 = 0$或$x - m - 1 = 0$

 解得$x_1=m - 1，$$x_2=m + 1$

 ①当$AB = 5$为腰长时，若$m - 1 = 5，$则$m = 6，$此时三边为$5，$$5，$$7，$周长为$5 + 5+7 = 17；$若$m + 1 = 5，$则$m = 4，$此时三边为$5，$$5，$$3，$周长为$5 + 5+3 = 13。$

 ②当$AB = 5$为底边时，$m - 1 = m + 1$不成立。

 所以$\triangle ABC$的周长为$13$或$17。$

 解：（1）在$Rt\triangle ABC$中，$AC = 3 - 1 = 2，$$BC = 1，$根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$

 因为以$A$为圆心，$AB$为半径画圆，交数轴于$D$、$E$两点

 所以$AD = AE=\sqrt{5}$

 则$m = 1+\sqrt{5}，$$n = 1-\sqrt{5}$

 （2）因为$x = m = 1+\sqrt{5}$是一元二次方程$x^{2}+bx - 4 = 0$的一个根

 把$x = 1+\sqrt{5}$代入方程得$(1+\sqrt{5})^{2}+b(1+\sqrt{5})-4 = 0$

 $1 + 2\sqrt{5}+5+b + b\sqrt{5}-4 = 0$

 $(b + 2)\sqrt{5}+b + 2 = 0$

 $(b + 2)(\sqrt{5}+1)=0$

 解得$b=-2$

 （3）琮琮说得不对。

 把$x = n = 1-\sqrt{5}$代入方程$x^{2}+bx - 4 = 0$的左边得：

 $(1-\sqrt{5})^{2}-2(1-\sqrt{5})-4=1 - 2\sqrt{5}+5-2 + 2\sqrt{5}-4 = 0$

 所以$x = n$是方程$x^{2}+bx - 4 = 0$的根。