解：$(2)$在$PC$上截取$PD=AP，$连接$AD，$如图$1$：
∵$∠APC=60°，$
∴$△APD$是等边三角形，
∴$AD=AP=PD，$$∠ADP=60°，$$∠ADC=120°.$
∵$∠APB=∠APC+∠BPC=120°，$
∴$∠ADC=∠APB.$
在$△APB$和$△ADC$中，
$\begin {cases}{∠APB=∠ADC}\\{∠ABP=∠ACD}\\{AP=AD}\end {cases}$
∴$△APB≌△ADC，$
∴$BP=CD.$
又∵$PD=AP，$
∴$PC=PA+PB.$
$(3)$当点$P $为$\widehat {AB}$的中点时，四边形$APBC$的面积最大$.$
理由如下：
如图$2，$过点$P_{作}PE⊥AB，$垂足为$E，$过点$C$作$CF⊥AB，$垂足为$F.$
∵$S_{△APB}=\frac {1}{2}AB·PE，$$S_{△ABC}=\frac {1}{2}AB·CF，$
∴$S_{四边形APBC}=\frac {1}{2}AB·(PE+CF).$
当点$P $为$\widehat {AB}$的中点时，$PE+CF=PC，$$PC$为$⊙O$的直径，
∴此时四边形$APBC$的面积最大$.$
∵$⊙O$的半径为$1，$
∴其内接正三角形的边长$AB=\sqrt {3}，$
∴$S_{四边形APBC}=\frac {1}{2}×2×\sqrt {3}=\sqrt {3}.$
