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第120页

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证明$：(1)$因为$AB$是半圆$O$的直径，

所以$∠ACB = 90°，$

在$Rt\triangle ACB$中，$∠A+∠ABC = 90°。$

$ $又因为$∠D=∠ABC，$

所以$∠D+∠A = 90°。$

$ $在$\triangle ABD$中，$∠ABD = 180°-(∠D+∠A)=90°。$

$ $因为$AB$是半圆$O$的直径，

所以$BD$是半圆$O$的切线。

$(2)$连接$OC。$

$ $因为$\overset {\frown }{AC}=\overset {\frown }{AC}，$$∠ABC = 60°，$

所以$∠AOC = 2∠ABC = 120°。$

$ $因为$OC = OB，$$∠ABC = 60°，$

所以$\triangle BOC$是等边三角形，

所以$OC = BC = 3。$

$ $根据弧长公式$l=\frac {n\pi r}{180}($其中$n$是圆心角度数，$r$是半径$)，$可得$\overset {\frown }{AC}$的长为$\frac {120\pi ×3}{180}=2\pi 。$

证明：如图，连接$OE$、$OF。$

因为$AB\perp CD，$

所以$∠AOC = 90°。$

因为$OA = AE = OE，$

所以$\triangle AOE$为等边三角形，

所以$∠AOE = 60°。$

因为$\frac{360°}{60°} = 6，$

所以弦$AE$是$\odot O$的内接正六边形的一边。

因为$∠AOE = 60°，$

所以$∠EOC = ∠AOC-∠AOE=90°-60°=30°。$

因为$\frac{360°}{30°} = 12，$

所以弦$CE$是$\odot O$的内接正十二边形的一边。

易知$∠AOF = 60°，$

所以$∠EOF = ∠AOF+∠AOE = 60°×2 = 120°。$

因为$\frac{360°}{120°} = 3，$

所以弦$EF$是$\odot O$的内接正三角形的一边。

证明：(1)如图，连接$BG。$

因为$AB = BC = 2AD = 2，$

所以$AD = AE = 1，$$BE = BF = CF = 1。$

所以$AD = BF。$

因为$AD// BC，$即$AD// BF，$

所以四边形$ABFD$是平行四边形，

所以$∠BFD=∠DAB = 60°。$

因为$BG = BF，$

所以$\triangle BFG$是等边三角形，

所以$GF = BF，$

所以$GF = BF = FC。$

所以点$G$在以$BC$为直径的圆上，

所以$∠BGC = 90°。$

因为$BG$为$\overset{\frown}{EF}$所在圆的半径，

所以$CG$为$\overset{\frown}{EF}$所在圆的切线。

(2)如图，过点$D$作$DH\perp AB$于点$H。$

因为在$Rt\triangle AHD$中，$∠DAB = 60°，$

所以$∠ADH = 30°。$

易得$AH=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}，$$DH = \sqrt{AD^{2}-AH^{2}}=\sqrt{1^{2}-(\frac{1}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}。$

因为四边形$ABFD$是平行四边形，

所以$DF = AB = 2，$$∠ABF = 180°-∠A = 120°。$

因为$\triangle BFG$是等边三角形，

所以$∠GBF = 60°，$$GF = BF = BG = 1。$

所以$∠EBG=∠ABF-∠GBF = 60°，$$DG = DF - GF = 1。$

$S_{涂色部分}=S_{梯形ABGD}-S_{扇形ADE}-S_{扇形BEG}$

$=\frac{1}{2}×(1 + 2)×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{60\pi×1^{2}}{360}-\frac{60\pi×1^{2}}{360}$

$=\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{\pi}{3}。$