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解:
(1)
$\begin{aligned}&(2x - 3)m+2m^{2}-3x\\=&2mx-3m + 2m^{2}-3x\\=&(2m - 3)x+2m^{2}-3m\end{aligned}$
因为其值与$x$的取值无关,所以$2m - 3 = 0,$
解得$m=\frac{3}{2}。$
(2)
因为$A=(2x + 1)(x - 1)-x(1 - 3y),$$B=-x^{2}+xy - 1,$
所以
$\begin{aligned}&3A + 6B\\=&3[(2x + 1)(x - 1)-x(1 - 3y)]+6(-x^{2}+xy - 1)\\=&3(2x^{2}-2x+x - 1-x + 3xy)-6x^{2}+6xy - 6\\=&6x^{2}-6x + 3x-3-3x + 9xy-6x^{2}+6xy - 6\\=&15xy-6x - 9\\=&3x(5y - 2)-9\end{aligned}$
因为$3A + 6B$的值与$x$的取值无关,
所以$5y - 2 = 0,$即$y=\frac{2}{5}。$
(3)设$AB = x,$由题图可知$S_{1}=a(x - 3b),$$S_{2}=2b(x - 2a),$
所以
$\begin{aligned}S_{1}-S_{2}&=a(x - 3b)-2b(x - 2a)\\&=ax-3ab-2bx + 4ab\\&=(a - 2b)x+ab\end{aligned}$
因为当$AB$的长变化时,$S_{1}-S_{2}$的值始终保持不变,
所以$S_{1}-S_{2}$的值与$x$无关,
所以$a - 2b = 0,$所以$a = 2b。$
$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$

 [类比探究]解:如答图,​$ $​因为​$a+b=20,$​​$ab=80,$​ 
所以​$S_{阴影}=S_{梯形BDEG}−S_{∆DEH}−S_{∆BCH }$​
​$=\frac 12a(a+b+b)−\frac 12b(a−b)−\frac 12ab $​
​$=\frac 12a^2+ab−\frac 12ab+\frac 12b^2−\frac 12ab $​
​$=\frac 12a^2+\frac 126^2 $​
​$=\frac 12(a^2+b^2) $​
​$=\frac 12[(a+b)^2−2ab] $​
​$=\frac 12×(400−160) =120. $​
[拓展应用]解:设​$3−4x=a,$​​$2(2x−5)=b,$​
则​$ab=2(3−4x)(2x−5)=9,$​
​$a+b=3−4x+4x−10=−7,$​
​$ $​所以​$(3−4.x)^2+4(2x−5)^2=a^2+b^2 =(a+b)^2−2ab $​
​$=49−18 =31.$​