解：逆命题：如果一个三角形的两个锐角的角平分线所夹的锐角是$45^{\circ}，$那么这个三角形是直角三角形.
已知：在$\triangle ABC$中，$BE$是$\angle ABC$的平分线，交$AC$于点$E，$$AD$是$\angle CAB$的平分线，交$BC$于点$D，$$BE$和$AD$相交于点$O，$且$\angle EOA = 45^{\circ}.$
求证：$\triangle ABC$是直角三角形.
证明：因为$BE$是$\angle ABC$的平分线，$AD$是$\angle CAB$的平分线，
所以$\angle OAB=\frac{1}{2}\angle CAB，$$\angle OBA=\frac{1}{2}\angle CBA，$
所以$\angle OAB + \angle OBA=\frac{1}{2}(\angle CAB + \angle CBA)，$
所以$180^{\circ}-\angle AOB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle C)，$
所以$\angle AOB = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C.$
又因为$\angle EOA = 45^{\circ}，$
所以$\angle AOB = 180^{\circ}-\angle EOA = 180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}，$
所以$90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C = 135^{\circ}，$
所以$\angle C = 90^{\circ}，$
所以$\triangle ABC$是直角三角形.
