解: （1）设$y$与$x$之间的函数表达式为$y = kx + b。$
由题意，得$\begin{cases}68k + b = 40 \\ 67k + b = 45 \end{cases}，$
用第一个方程减去第二个方程消去$b$可得：
$68k + b -(67k + b)=40 - 45，$
$68k + b - 67k - b=-5，$
$k = -5，$
把$k = -5$代入$68k + b = 40$得：
$68\times(-5)+b = 40，$
$-340 + b = 40，$
$b = 380，$
故$y$与$x$之间的函数表达式为$y = -5x + 380。$
（2）由题意，得$(x - 40)(-5x + 380) = 1600。$
整理，得$x^{2} - 116x + 3360 = 0，$
对于一元二次方程$x^{2} - 116x + 3360 = 0，$其中$a = 1，$$b = -116，$$c = 3360，$
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，$可得$x=\frac{116\pm\sqrt{(-116)^{2}-4\times1\times3360}}{2\times1}=\frac{116\pm\sqrt{13456 - 13440}}{2}=\frac{116\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{116\pm4}{2}，$
解得$x_{1} = 56，$$x_{2} = 60。$
因为要使顾客尽可能多地获得实惠，所以$x = 56。$
故每箱水蜜桃的售价是56元。
（3）在（2）的条件下，当$x = 56$时，$y = -5×56 + 380 = 100。$
由题意，得$1600×16=[56×(1 - m\%) - 40×(1 - 10\%)]×100×(1 + 2m\%)×(31 - 16)+7120。$
整理，得$7m^{2}+100m - 4800 = 0，$
对于一元二次方程$7m^{2}+100m - 4800 = 0，$其中$a = 7，$$b = 100，$$c = -4800，$
根据求根公式$m=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，$可得$m=\frac{-100\pm\sqrt{100^{2}-4\times7\times(-4800)}}{2\times7}=\frac{-100\pm\sqrt{10000 + 134400}}{14}=\frac{-100\pm\sqrt{144400}}{14}=\frac{-100\pm380}{14}，$
解得$m_{1} = 20，$$m_{2}=-\frac{240}{7}$（不合题意，舍去）。
故$m$的值为20。
