解: 连接$OA，$过点$O$作$OD\perp AB$于点$D，$$OE\perp AC$于点$E，$则$\angle ODA=\angle OEA = 90^{\circ}，$$AD=\frac{1}{2}AB，$$AE=\frac{1}{2}AC。$因为$AB = 2\sqrt{2}，$$AC = 2\sqrt{3}，$所以$AD=\sqrt{2}，$$AE=\sqrt{3}。$因为$\odot O$的半径为$2，$所以$OA = 2，$所以$OD=\sqrt{OA^{2}-AD^{2}}=\sqrt{2}，$$OE=\sqrt{OA^{2}-AE^{2}} = 1，$所以$OD = AD，$$OE=\frac{1}{2}OA，$所以$\angle OAD=\angle AOD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ODA)=45^{\circ}，$$\angle OAE = 30^{\circ}。$分类讨论如下：
① 如图①，当圆心$O$在$\angle BAC$内部时，$\angle BAC=\angle OAD+\angle OAE = 75^{\circ}，$所以$\angle BOC=2\angle BAC = 150^{\circ}；$
② 如图②，当圆心$O$在$\angle BAC$外部时，$\angle BAC=\angle OAD-\angle OAE = 15^{\circ}，$所以$\angle BOC=2\angle BAC = 30^{\circ}。$
综上所述，$\angle BOC$的度数为$150^{\circ}$或$30^{\circ}。$
