第51页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

$35^{\circ}$

$8 - 4\sqrt{2}$

$2\sqrt{2}$

C

$(-\frac{1}{2},1)$或$(-1,0)$或$(0,2)$

解: 连接$OC，$交$BF$于点$H。$

 因为直线$ED$切$\odot O$于点$C，$所以$OC\perp ED，$则$\angle OCD=\angle OCE = 90^{\circ}。$

 因为$OA = OC，$所以$\angle OAC=\angle OCA。$

 因为$AC$平分$\angle BAD，$所以$\angle OAC=\angle DAC，$所以$\angle OCA=\angle DAC，$所以$OC// AD，$所以$\angle D=\angle OCE = 90^{\circ}。$

 因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle AFB = 90^{\circ}，$所以$\angle HFD = 180^{\circ}-\angle AFB = 90^{\circ}，$所以四边形$HFDC$是矩形。

 所以$HF = CD = 4，$$\angle CHF = 90^{\circ}，$所以$OC\perp BF，$所以$BF = 2HF = 8。$

 因为$AF = 2，$在$Rt\triangle ABF$中，根据勾股定理$AB=\sqrt{AF^{2}+BF^{2}}=\sqrt{2^{2}+8^{2}}=2\sqrt{17}，$所以$OA=\frac{1}{2}AB=\sqrt{17}。$

 故$\odot O$的半径为$\sqrt{17}。$

 (1) 证明：因为点$A$与点$C$关于直线$OP$对称，所以$\angle AOP=\angle COP，$则$\angle AOC=\angle AOP+\angle COP = 2\angle AOP。$

 又因为$\angle AOC = 2\angle OBC，$所以$\angle AOP=\angle OBC，$所以$OP// BC。$

 (2) 解：连接$CP。$设$\angle COP=\angle AOP = x^{\circ}。$

 因为$CD$是$\odot O$的切线，所以$OC\perp CD，$则$\angle OCD = 90^{\circ}。$

 因为$\angle D = 90^{\circ}，$所以$\angle OCD+\angle D = 180^{\circ}，$所以$OC// AD，$所以$\angle APO=\angle COP = x^{\circ}。$

 因为$OA = OP，$所以$\angle A=\angle APO = x^{\circ}。$

 在$\triangle AOP$中，$\angle A+\angle APO+\angle AOP = 180^{\circ}，$即$3x = 180，$解得$x = 60，$所以$\angle COP = 60^{\circ}。$

 因为$OP = OC，$所以$\triangle OCP$为等边三角形，所以$OC = CP，$$\angle OCP = 60^{\circ}，$所以$\angle DCP=\angle OCD-\angle OCP = 30^{\circ}。$

 因为$DP = 1，$在$Rt\triangle DCP$中，$CP = 2DP = 2，$所以$OC = 2，$所以$AB = 2OC = 4。$

 故$\odot O$的直径为$4。$