解：以点$E$为圆心、$AE$长为半径作$\odot E，$连接$CE.$ 因为$E$是$AB$的中点，$AB = 2，$所以$AE = BE=\frac{1}{2}AB = 1.$ 由翻折的性质，可知$A'E = AE = 1.$ 因为四边形$ABCD$是矩形，所以$\angle EBC = 90^{\circ}.$ 在$Rt\triangle BCE$中，$BE = 1，$$BC = 3，$根据勾股定理$CE=\sqrt{BE^{2}+BC^{2}}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}.$ 所以$A'C$长的最小值为$CE - A'E=\sqrt{10}-1$
