$证明:(1)因为b²−4ac=(m+5)²−4(3m+6)=m²−2m+1=(m−1)²≥0$
$所以不论实数m取何值，该方程总有实数根$
$(2)设该方程的两根分别为x_{1},x_{2},则x_{1}＞0,x_{2}＞0,且x_{1}²+x_{2}²=5²=25$
$即(x_{1}+x_{2})²−2x_{1}x_{2}=25$
$由一元二次方程的根与系数的关系，得x_{1}+x_{2}=m+5,x_{1}x_{2}=3m+6,所以(m+5)²−2(3m+6)=25$
$解得m_{1}=2,m_{2}=−6$
$当m=2时,原方程为x²−7x+12=0,解得x_{1}=3,x_{2}=4,符合题意;$
$当m=−6时,原方程为x²+x−12=0,解得x_{1}=−4,x_{2}=3,不合题意，舍去$
$综上所述,m的值为2.\ $
