第27页 - 通城学典课时作业本八年级数学苏科版江苏专版

解：如图所示

证明：在$\triangle BPQ $和$\triangle CQR {中}$

$\begin {cases}P B = Q C\\∠B = ∠C\\Q B = R C\end {cases}$

∴$\triangle BPQ≌\triangle CQR(S AS)$

∴$QP = RQ$

∴点$Q $在$PR $的垂直平分线上

证明：如图，连接$BO$

∵$AE\perp EF，$∴$∠E = 90°$

∵$EF// BC，$∴$∠ADB = ∠E = 90°，$∴$AD\perp BC$

∵$D$是$BC$的中点，∴$AD$是$BC$的垂直平分线，即点$O$在$BC$的垂直平分线上

∴$BO = CO$

∵$AO = CO，$∴点$O$在$AC$的垂直平分线上，$BO = AO$

∴点$O$在$AB$的垂直平分线上

∴$O$是$\triangle ABC$三边的垂直平分线的交点

证明：连接$MA，$$MC$

∵点$M$在$AC$的垂直平分线上，∴$MA = MC$

∵$MD\perp AD，$$ME\perp BC，$∴$∠ADM = ∠CEM = 90°$

在$Rt\triangle MAD$和$Rt\triangle MCE$中

$\begin {cases}MA = MC\\AD = CE\end {cases}$

∴$Rt\triangle MAD≌ Rt\triangle MCE(\mathrm {HL})，$∴$MD = ME$

又∵$MD\perp BA，$$ME\perp BC$

∴点$M$在$∠ABC$的平分线上，即$BM$平分$∠ABC$