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$180^{\circ}$

$8$

解： (1)如图，$\angle APQ$即为所求作。

 (2)$PQ// AB。$

 依据：内错角相等，两直线平行。

 解：(1)证明：$\because CF\perp AB，$$BE\perp AC，$

 $\therefore\angle AEB=\angle AFC = 90^{\circ}。$

 $\therefore\angle ABP=\angle QCA = 90^{\circ}-\angle BAC。$

 在$\triangle APB$和$\triangle QAC$中，

 $\begin{cases}BP = CA \\\angle ABP=\angle QCA \\BA = CQ\end{cases}$

 $\therefore\triangle APB\cong\triangle QAC(SAS)。$

 $\therefore AP = QA。$

 (2)$\because\triangle APB\cong\triangle QAC，$

 $\therefore\angle BAP=\angle CQA。$

 $\because\angle CQA+\angle QAF = 90^{\circ}，$

 $\therefore\angle QAP=\angle BAP+\angle QAF = 90^{\circ}，$即$AP\perp AQ。$

$90^{\circ}$

 解：(2)①$\alpha+\beta = 180^{\circ}。$

 理由：$\because\angle BAC=\angle DAE，$

 $\therefore\angle BAC-\angle DAC=\angle DAE-\angle DAC，$

即$\angle BAD=\angle CAE。$

 在$\triangle ABD$和$\triangle ACE$中，

 $\begin{cases}AB = AC \\\angle BAD=\angle CAE \\AD = AE\end{cases}$

 $\therefore\triangle ABD\cong\triangle ACE(SAS)。$

 $\therefore\angle B=\angle ACE。$

 $\therefore\angle B+\angle ACB=\angle ACE+\angle ACB=\beta。$

 $\because\angle BAC+\angle B+\angle ACB = 180^{\circ}，$

 $\therefore\alpha+\beta = 180^{\circ}。$

 ②当点$D$在线段$BC$及其延长线上时，$\alpha+\beta = 180^{\circ}；$

当点$D$在线段$BC$的反向延长线上时，$\alpha=\beta。$