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$1 - 6a$

$\frac{1}{4}x + 3$

$2^{32}-1$

 解：$(-\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y)(-\frac{2}{3}y+\frac{1}{2}x)=(-\frac{2}{3}y-\frac{1}{2}x)(-\frac{2}{3}y+\frac{1}{2}x)$

 $=(-\frac{2}{3}y)^{2}-(\frac{1}{2}x)^{2}$

 $=\frac{4}{9}y^{2}-\frac{1}{4}x^{2}$

 $=-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{4}{9}y^{2}$

 解：$2024\times2026 - 2025^{2}=(2025 - 1)(2025 + 1)-2025^{2}$

 $=2025^{2}-1 - 2025^{2}$

 $=-1$

 解：$(2x - 1)(2x + 1)-(x - 6)(4x + 3)$

 $=(4x^{2}-1)-(4x^{2}+3x - 24x - 18)$

 $=4x^{2}-1 - 4x^{2}-3x + 24x + 18$

 $=21x + 17$

 当$x = -\frac{1}{3}$时，

 原式$=21\times(-\frac{1}{3})+17$

 $=-7 + 17$

 $=10$

 解：$(x + 3y)(x - 3y)-(-2x + 5y)(-2x - 5y)$

 $=x^{2}-9y^{2}-[( - 2x)^{2}-(5y)^{2}]$

 $=x^{2}-9y^{2}-(4x^{2}-25y^{2})$

 $=x^{2}-9y^{2}-4x^{2}+25y^{2}$

 $=-3x^{2}+16y^{2}$

 因为$x=(3 - \pi)^{0}=1，$$y = -\frac{1}{2}，$

 所以原式$=-3\times1^{2}+16\times(-\frac{1}{2})^{2}$

 $=-3 + 16\times\frac{1}{4}$

 $=-3 + 4$

 $=1$

 （1）解：图中阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积，即$a^{2}-b^{2}。$

 （2）解：将阴影部分沿虚线剪开，拼成一个长方形，这个长方形的长为$a + b，$宽为$a - b，$面积为$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}。$

 （3）解：能。根据（1）（2），得$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}，$验证了平方差公式。