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(4,1)

解：$(1)$建立如图所示的平面直角坐标系

∵边$AB$上的高为$4，$∴点$C$的纵坐标为$\pm 4$

又点$C$的横坐标为$-1$

∴点$C$的坐标为$(-1，$$4)$或$(-1，$$-4)$

$(2)S_{\triangle ABC}=\frac 12\ \mathrm {A}B·|y_{C}|=\frac 12×[2 - (-4)]×4 = 12$