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第30页

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证明：∵​$AD//BC$​
∴​$∠ADB=∠CBD$​
∵​$BD$​平分​$∠ABC$​
∴​$∠ABD=∠CBD$​
∴​$∠ABD=∠ADB$​
∴​$AB=AD$​

 证明：

 ∵$DE // BC，$

 ∴$\angle ADE = \angle B，$$\angle AED = \angle C$（两直线平行，同位角相等）。

 ∵$AD = AE，$

 ∴$\angle ADE = \angle AED$（等边对等角）。

 ∴$\angle B = \angle C$（等量代换）。

 ∴$AB = AC$（等角对等边）。

 ∵$AB = AD + DB，$$AC = AE + EC，$且$AD = AE，$

 ∴$DB = EC$（等量代换）。

 证明：

 ∵AD⊥BC，

 ∴∠ADB=∠ADC=90°，

 在△ABD和△ACD中，

 $\left\{\begin{array}{l} ∠BAD=∠CAD,\\ AD=AD,\\ ∠ADB=∠ADC,\end{array}\right.$

 ∴△ABD≌△ACD(ASA)，

 ∴AB=AC.

证明：过点$D$作$DE⊥AB$于点$E，$$DF⊥AC$于点$F，$

∵$∠BAD=∠CAD，$$DE⊥AB，$$DF⊥AC，$

∴$DE=DF，$$∠DEB=∠DFC=90°，$

在$Rt△BDE$和$Rt△CDF_{中}$：

$\begin {cases}{BD=CD} \\{DE=DF}\end {cases}$

∴$Rt△BDE≌Rt△CDF(\mathrm {HL})$

∴$∠B=∠C，$

∴$AB=AC.$