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$a^2 + b^2 = c^2$

 $\angle A + \angle B = 90^\circ$ 

$\sin A = \frac{a}{c}$

$\cos A = \frac{b}{c}$

$\tan A = \frac{a}{b}$

解：$(1)$由题意得，$∠B=180°-90°-45°=45°$

∴$a=b=18，$$c=b÷cosA=18\sqrt 2$

$(2)$由题意得，$∠A=180°-90°-45°=45°$

∴$∠A=∠B$

∴$a=b=c ·sin B=5\sqrt 2$

解：$cos B=\frac {BC}{AB}=\frac {\sqrt 6}{2\sqrt 2}=\frac {\sqrt 3}2$

∴$∠B=30°，$$∠A=90°-30°=60°$

$AC=\frac 12AB=\sqrt 2$

解：$cos∠CAD=\frac {AC}{AD}=\frac {8}{\frac {16}3\sqrt 3}=\frac {\sqrt 3}2$

∴$∠CAD=30°，$$∠CAB=2∠CAD=60°$

∴$∠B=90°-60°=30°$

∴$BC=\sqrt 3AC=8\sqrt 3$