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$\frac{\sqrt{7}}{3}$或$-\frac{\sqrt{7}}{3}$或$\frac{\sqrt{15}}{3}$或$-\frac{\sqrt{15}}{3}$

解$：(1)$∵抛物线$y=2x²+mx$与$x$轴交于另一点$A(2，0)，$

∴$2×2²+2m=0，$

解得$m=-4.$

∴$y=2x²-4x=2(x-1)²-2.$

∴顶点$M$的坐标为$(1，-2)$

$y=2x-4$

解：$(1) $∵抛物线$y=x²+bx+c $的顶点坐标为$(3，−4)，$

∴$y=(x−3)²−4，$即$y=x²−6x+5.$

∴$b=−6，c=5$

$\frac{5\pm\sqrt{41}}{2}$

 解：根据题意，得

$W=(a - 40)[200 - 5(a - 60)]=(a - 40)(200 - 5a + 300)=-5a^2 + 700a - 20000=-5(a - 70)^2 + 4500。$

 ∵$-5＜0，$$60\leq a\leq100，$

 ∴当$a=70$时，W取得最大值，$W_{最大值}=4500。$

答：W关于a的函数表达式为$W=-5a^2 + 700a - 20000，$W的最大值为4500