第55页 - 苏科版八年级伴你学数学答案（上下册）

$证明：(1) ∵在 ▱A B C D 中， O 为对角线 B D 的中点$ $ ∴B O= D O， \angle E D O=\angle F B O $ $ 又 ∵\angle E O D=\angle F O B$ $ ∴\triangle D O E ≌ \triangle B O F (\mathrm {ASA}) $ $ (2) 当 \angle D O E=90° 时，四边形 B E D F 为菱形，理由： $ $ ∵\triangle D O E ≌ \triangle B O F$ $ ∴B F=D E $ $ 又 ∵B F / / D E $ $ ∴四边形 B E D F 是平行四边形$ $ ∵B O=D O， \angle E O D=90°$ $ ∴E B=D E $ $ ∴四边形 B E D F 为菱形$

C

D

$\sqrt{2}$

$\frac{13}{2}$

$证明：(1)∵AE⊥AC，BD垂直平分AC$ $∴AE//BD$ $∵∠ADE=∠BAD$ $∴DE//AB$ $∴四边形ABDE是平行四边形$ $(2)∵DA平分∠BDE$ $∴∠ADE=∠BDA$ $∵∠ADE=∠BAD$ $∴∠BAD=∠BDA$ $∴AB=BD=5$ $设BF=x，DF=5-x$ $在Rt△ABF 中，5^2-x^2=AF^2$ $在Rt△ADF 中，6^2-(5-x)^2=AF^2$ $∴5^2-x^2=6^2-(5-x)^2 解得x=\frac 75$ $∴AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{5^2-(\frac 75)^2}=\frac {24}5$ $∴AC=2AF=\frac{48}{5}$

【解析】
(1)
∵在$□ ABCD$中，$O$为对角线$BD$的中点，
∴$BO = DO$，$AD// BC$，则$∠ EDO = ∠ FBO$。
又
∵$∠ EOD = ∠ FOB$，
∴根据ASA全等判定定理，可证$△ DOE≌△ BOF$。
(2) 当$∠ DOE = 90^{\circ}$时，四边形$BEDF$为菱形，理由如下：
由$△ DOE≌△ BOF$可得$BF = DE$，又
∵$DE// BF$，
∴四边形$BEDF$是平行四边形。
∵$BO = DO$，$∠ DOE = 90^{\circ}$，即$EF⊥ BD$，
∴$EB = DE$，
∴一组邻边相等的平行四边形是菱形，故四边形$BEDF$为菱形。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) 当$∠ DOE = 90^{\circ}$时，四边形$BEDF$为菱形，理由见上述解析。
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定（ASA），菱形的判定
【点评】
本题综合考查平行四边形、全等三角形、菱形的性质与判定，属于基础几何证明题，需熟练运用相关定理进行逻辑推导，逻辑推理难度适中。
【难度系数】
0.6

【解析】
逐一分析各选项：
A. 一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，如梯形只有一组对边平行，故A错误；
B. 有一个角是直角的四边形不一定是矩形，如直角梯形只有一个直角，故B错误；
C. 根据菱形的定义，四条边相等的四边形是菱形，故C正确；
D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，而非正方形（正方形还需对角线相等且有一个角为直角），故D错误。
【答案】
C
【知识点】
特殊四边形的判定
【点评】
本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，需准确区分各特殊四边形的判定条件，强化对基础几何概念的理解与辨析。
【难度系数】
0.8

【解析】
1. 因为四边形$ABCD$是等腰梯形，$AD// BC$，$∠ B=60^{\circ}$，所以$∠ BCD=∠ B=60^{\circ}$，$AB=CD$，$∠ BAD=180^{\circ}-∠ B=120^{\circ}$。
2. 因为$CA$平分$∠ BCD$，所以$∠ ACB=∠ ACD=30^{\circ}$。
3. 由$AD// BC$，得$∠ DAC=∠ ACB=30^{\circ}$，故$∠ DAC=∠ ACD$，所以$AD=CD=3$，则$AB=CD=3$。
4. 在$△ ABC$中，$∠ B=60^{\circ}$，$∠ ACB=30^{\circ}$，所以$∠ BAC=90^{\circ}$，根据直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，得$BC=2AB=6$。
5. 梯形$ABCD$的周长为$AB+BC+CD+AD=3+6+3+3=15$。
【答案】
D
【知识点】
等腰梯形性质，直角三角形性质，角平分线性质
【点评】
本题综合考查等腰梯形、角平分线及直角三角形的相关性质，解题关键是利用平行线与角平分线的性质推导出等腰三角形，进而求出各边长度计算周长。
【难度系数】
0.6

【解析】
设正方形$ABCD$的对角线$AC$与$BD$相交于点$O$。
∵四边形$ABCD$是边长为2的正方形，
∴$AC⊥BD$，$∠ OAD=45°$，$AC=2\sqrt{2}$，$AO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$。
∵$PE⊥AC$，
∴$△ APE$是等腰直角三角形，$PE=AE$。
∵$PF⊥BD$，$AC⊥BD$，$PE⊥AC$，
∴四边形$PEOF$是矩形，$PF=EO$。
∴$PE+PF=AE+EO=AO=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质
【点评】
本题通过将线段和转化为正方形对角线的一半，综合运用正方形、等腰直角三角形及矩形的性质求解，考查了特殊图形性质的综合应用与线段转化思想。
【难度系数】
0.6

【解析】
连接BD，取BD的中点G，连接EG、FG。
∵E是AD的中点，G是BD的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EG//AB，且EG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
同理，FG是△BCD的中位线，
∴FG//CD，且FG=$\frac{1}{2}$CD=6。
∵EG//AB，
∴∠BMF=∠GEF；
∵FG//CD，
∴∠CNF=∠GFE。
已知∠BMF+∠CNF=90°，
∴∠GEF+∠GFE=90°，
∴在△EGF中，∠EGF=180°-(∠GEF+∠GFE)=90°，即△EGF是直角三角形。
在Rt△EGF中，由勾股定理得：
EF=$\sqrt{EG^2+FG^2}$=$\sqrt{(\frac{5}{2})^2+6^2}$=$\sqrt{\frac{25}{4}+36}$=$\sqrt{\frac{169}{4}}$=$\frac{13}{2}$。
【答案】
$\frac{13}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理；勾股定理
【点评】
本题关键是通过构造辅助线，利用三角形中位线定理将线段和角的关系转化到直角三角形中，再结合勾股定理求解，考验辅助线构造能力与定理的综合应用。
【难度系数】
0.4

【解析】
(1) 证明：
∵ $AE ⊥ AC$，$BD$ 垂直平分 $AC$，
∴ $AE // BD$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
又
∵ $∠ADE = ∠BAD$，
∴ $AB // DE$（内错角相等，两直线平行）。
∴ 四边形 $ABDE$ 的两组对边分别平行，故四边形 $ABDE$ 是平行四边形。
(2) 解：
∵ $DA$ 平分 $∠BDE$，
∴ $∠ADE = ∠ADB$。
∵ 四边形 $ABDE$ 是平行四边形，
∴ $AB // DE$，则 $∠ADE = ∠BAD$，
∴ $∠BAD = ∠ADB$，故 $AB = BD = 5$。
∵ $BD$ 垂直平分 $AC$，
∴ $AC = 2AF$，且 $AF ⊥ BD$。
在 $△ ABD$ 中，$AD = 6$，$BD = 5$，$AB = 5$，设 $DF = x$，则 $BF = 5 - x$。
由勾股定理得：$AD^2 - DF^2 = AB^2 - BF^2$，
即 $6^2 - x^2 = 5^2 - (5 - x)^2$，
解得 $x = 3.6$。
则 $AF = \sqrt{AD^2 - DF^2} = \sqrt{6^2 - 3.6^2} = 4.8$，
∴ $AC = 2 × 4.8 = 9.6$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{9.6}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的判定与性质、角平分线性质及勾股定理的应用，第一问通过平行线的判定证明对边平行，第二问利用等角对等边得到线段长度，再结合勾股定理和垂直平分线的性质求解，需要熟练掌握几何图形的性质与定理，灵活运用相关知识计算线段长度。
【难度系数】
0.6