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 解：根据题意，列方程组：

 $\begin{cases}a + (2 - 1)b = 9 \\(a + 3) + (3 - 1)(b + 4) = 22\end{cases}$

 整理得：

 $\begin{cases}a + b = 9 \quad ① \\a + 2b = 11 \quad ②\end{cases}$

 ② - ①，得$b = 2，$

 将$b = 2$代入①，得$a + 2 = 9，$解得$a = 7。$

 答：$a$的值为7，$b$的值为2。

由题意得：${{\begin {cases} {{x^2-y^2=21}}① \\{x-y=3} ②\end {cases}}}$

将$②$代入$①$中得$(3+y)^2-y^2=21$

解得$y=2，$

将$y=2$代入$②$中得$x=5$

∴大正方形的边长为$5\ \mathrm {cm}，$小正方形的边长为$2\ \mathrm {cm}。$