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解：$(1)$由定义$m*n=3^n×3^m，$得

$ 2*3=3^3×3^2=27×9=243$

$ (2) $因为$2*(x+1)=81，$

$ $所以$3^{x+1}×3^2=3^4，$

$ $即$3^{x+3}=3^4，$

$ $所以$x+3=4，$解得$x=1$

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