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解：​$(1)$​∵函数图象经过第一、三象限
∴​$5k + 4＞0，$​解得​$k＞-\frac 45$​
​$ (2)$​∵​$y$​随​$x$​的增大而减小
∴​$5k + 4＜0，$​解得​$k＜-\frac 45$​
​$ (3)$​∵点​$(1，$​​$3)$​在该函数图象上
∴把​$x = 1，$​​$y = 3$​代入​$y=(5k + 4)x$​得
​$ 3=(5k + 4)×1，$​解得​$k = -\frac 15$​

解：$(1)$∵当$x_{1}＜x_{2}$时，有$y_{1}＞y_{2}$

∴$y$随$x$的增大而减小

$ $则$m - 1＜0，$解得$m＜1$

$ (2)$∵$m＜1，$∴$m $的最大整数为$0$

此时函数表达式为$y=-x$

图象如图所示

$ (3)$当$m = 0$时，函数表达式为$y=-x$

∴$y$随$x$的增大而减小

∵$b＜n$

∴$a＞m$