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第53页

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证明$： (1)$因为$MN⊥AM$

所以$∠AMB= 90°-∠NMC=∠MNC，$

又$∠B=∠C = 90°$

所以$△ABM∽△MCN$

$(2)$若$△ABM∽△AMN，$

则有$\frac {AB}{AM}=\frac {BM}{MN}$

由$(1)$知$△ABM∽△MCN， $

$∴\frac {AB}{AM}=\frac {MC}{MN}$

$∴BM=MC，$

即$M$为$BC$的中点.

$∴x=\frac {1}{2}×4=2. $

∴当$M$点运动到$BC$的中点时$，△ABM∽△AMN，$

此时$x=2.$

20cm

25cm

18cm

30cm

14400

$解:因为正方形ABCD的边长为3$

$所以AB=BC=3，∠B=90°$

$因为CE=2BE,$

$所以BE=\frac{1}{3}BC = 1$

$设AN=x ,则BN=3 - x$

$因为点A经折叠后与点E重合,折痕为MN$

$所以MN垂直平分AE . $

$所以AN=EN=x$

$在Rt△BEN中,由勾股定理可得, EN²=BN²+BE²$

$因为EN=x，BN=3 - x, BE=1$

$所以x²=(3-x)²+1²$

$解得，x=\frac{5}{3}$

$所以AN=\frac{5}{3}$

$S△ANE=\frac{1}{2}×AN×BE=\frac{5}{6}$

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