解$：(1)$设$OD=x，$则$AD=CD=8-x$
在$Rt\triangle OCD$中，由勾股定理得
$C{D}^2=O{D}^2+O{C}^2，$即${(8-x)}^2={x}^2+{4}^2$
解得$x=3$
$∴OD=3$
$∴D(3，0)$
$∵OA=8，$$OC=4$
$∴B(8，-4)，$$C(0，-4)$且抛物线过$B，$$C$点
∴抛物线的对称轴为$x=4$
$∵D(3，0)$
∴另一个交点$E(5，0).$
$(2)$不存在这样的点$P，$理由如下：
${S}_{矩形OABC}=OA·OB=32$
若存在这样的点$P，$设点$P$到$BC$的距离为$h$
则${S}_{△PBC}=\frac {1}{2}BC·h=32$
$∴h=8$
设抛物线的解析式为$y=a{x}^2+bx+c$
∵抛物线过$B(8，-4)，$$C(0，-4)，$$D(3，0)$
$∴\{\begin{array}{l}-4=64a+8b+c\\-4=c\\0=9a+3b+c\end{array}.$
解得$\{\begin{array}{l}a=-\frac {4}{15}\\b=\frac {32}{15}\\c=-4\end{array}.$
∴抛物线解析式为$y=-\frac {4}{15}{x}^2+\frac {32}{15}x-4=-\frac {4}{15}{(x-4)}^2+\frac {4}{15}$
$∴p$抛物线的顶点为$(4，\frac {4}{15})$
∴顶点到$BC$的距离为$4+\frac {4}{15}=\frac {64}{15}<8$
∴不存在这样的点$P，$使$\triangle PBC$的面积等于矩形$OABC$的面积.
