解：$(1)$设原计划篮球买$x$个，足球买$y$个
根据题意，得$\begin{cases}{x+y=60}\\{100x+80y=5600}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{x=40}\\{y=20}\end{cases}$
答：原计划篮球买$40$个，足球买$20$个
$ (2)$设篮球买$a$个，则足球买$(80-a)$个
根据题意，得$100a+80(80-a)≤6890$
解得$a≤24.5$
∵$a$为正整数
∴$a$的最大值为$24$
答：篮球最多能买$24$个。
