解$： (1) $因为$ x+y=8 ， $所以$ (x+y)^2= 64 ， $即$ x^2+2 x y+y^2=64 . $
又因为$ x^2+y^2=40 ， $所以$ 2 x y=24 ，$所以$ x y=12 ；$
$(3)$设$ A C=a， B C=b ， $则$ S_1=a^2， S_2=b^2 ， $
由$ S_1+S_2=18 $可得$， a^2+b^2=18， a+b=A B=6， S_{涂色部分 }=\frac {1}{2}a b . $
因为$ a+b=6 ， $所以$ a^2+2a b+b^2=36 . $
又因为$ a^2+ b^2=18 ， $所以$ 2a b=18 . $
所以$ S_{涂色部分 }=\frac {1}{2}a b=\frac {18}{4}= \frac {9}{2} ， $即涂色部分的面积为$ \frac {9}{2} $
