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$解:(1)四边形BPCO为平行四边形.理由如下:\ $

$∵四边形ABCD为平行四边形，\ $

$∴OC=OA=\frac{1}{2}AC，OB=OD=\frac{1}{2}BD.\ $

$∵以点B、C为圆心，\frac{1}{2}AC、\frac{1}{2} BD长为半径画弧，$

$两弧交于点P，∴OB=CP，BP=OC，$

$∴四边形BPCO为平行四边形.$

$(2)当AC⊥BD，AC=BD时，四边形BPCO为正方形.$

$∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°.\ $

$∵AC=BD，OB=\frac{1}{2} BD，OC=\frac{1}{2}AC，∴OB=OC.$

$∵四边形BPCO为平行四边形， ∴四边形BPCO为正方形$

$证明:(1)∵四边形ABCD为正方形，\ $

$∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°. ∴∠EAB+∠AEB=90°.\ $

$∵∠EOB=∠AOF=90°， ∴∠FBC+∠AEB=90°.∴∠EAB=∠FBC.\ $

$∴△ABE≌△BCF(ASA).∴BE=CF.$

$解:(2)过点A作AM//GH交BC于点M，过点B作BN//EF交CD于点N，AM与BN交于点O'.$

$则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形.$

$ ∴EF=BN，GH=AM.$

$ ∵∠FOH=90°，AM//GH，EF//BN，$

$ ∴∠NO'A=90°.$

$ 由(1)知△ABM≌△BCN，$

$ ∴AM=BN.∴GH=EF=4.$