$解:(2)∠AOM-∠NOC=30°.理由如下:\ $
$设∠AOC=α，由∠AOC:∠BOC=1:2，得∠BOC=2α.$
$∵∠AOC+∠BOC=180°，∴α+2α=180°.\ $
$解得α=60°，即∠AOC=60°.\ $
$∴∠AON+∠NOC=60°.①\ $
$∵∠MON=90°，∴∠AOM+∠AON=90°.②\ $
$由②-①，得∠AOM-∠NOC=30°.$
$(3)(ⅰ)如图(1)，当直角边ON在∠AOC外部时，由OD平分∠AOC，得∠BON=30°，$
$ 因此三角板绕点O逆时针旋转60°.$
$ 此时三角板的运动时间为t=60°÷15°=4(秒).$
$ (ⅱ)如图(2)，当直角边ON在∠AOC内部时，由ON平分∠AOC，可得∠CON=30°，$
$ 因此三角板绕点O逆时针旋转240°.$
$ 此时三角板的运动时间为t=240°÷15°=16(秒).$
