第117页 - 经纶学典学霸八年级数学上下册【江苏国标】

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$解:(1)将点A(3,1)，B(-1,n )代入y=\frac{m}{x}，$

$得\begin{cases}{ 1=\frac {m}{3}, }\ \\ {n=\frac {m}{-1},\ } \end{cases} 解得\begin{cases}{ m=3, }\ \\ {n=-3,\ } \end{cases}\ $

$∴点B(-1,-3)，反比例函数的表达式为y=\frac{3}{x}.$

$将点A(3,1)，B(-1,-3)代入y=kx+b.$

$得\begin{cases}{ 1=3k+b, }\ \\ { -3=-k+b, } \end{cases} 解得\begin{cases}{ k=1, }\ \\ { b=-2, } \end{cases}\ $

$∴一次函数的表达式为y=x-2.\ $

$(2)存在.将x=0代入y=x-2，得y=-2，$

$∴C(0,-2)，∴OC=2.$

$若四边形OCNM是平行四边形，则MN//OC，$

$且MN=OC=2，设M(t,\frac{3}{t})，N(t,t-2)，$

$则M=y_{m} -y_{n} =\frac{3}{t}-(t-2)=2，$

$解得t=±\sqrt {3} .\ $

$∴M(\sqrt {3} ,\sqrt {3} )或(-\sqrt {3} , -\sqrt{3}).$

$解:由CD=4，可得点C的横坐标为-4，$

$当x=-4时，y=-\frac{3}{2}× (-4)-2=4，$

$∴点C(-4,4).$

$又∵点C(-4,4)在反比例函数y=\frac{m}{x}的图像上，$

$∴m=-4×4=-16，$

$∴反比例函数的表达式为y=-\frac{16}{x}.$

$解:∵直线y=-\frac {3}{2}x-2分别交x轴、y轴于A、B两点，$

$∴点A(-\frac{4}{3}, 0) ，点B(0,-2)，$

$即OA=\frac{4}{3}，OB=2，$

$∴S_{△AOB} =\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×2=\frac{4}{3}.$

$设Q(x,-\frac{16}{x}).$

$由于△QOB的面积是△AOB的面积的4倍，$

$∴△QOB的面积为\frac{4}{3}×4=\frac{16}{3}，$

$即\frac {1}{2}OB×|x|=\frac{16}{3}.$

$解得x=±\frac{16}{3}，$

$当x=\frac{16}{3}时，$

$y=-16×\frac{3}{16}=-3；$

$当x=-\frac{16}{3}时，$

$y=-16x(-\frac{3}{16})=3，$

$∴点Q(\frac{16}{3}，-3))或(-\frac{16}{3},3). $

$解:如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BD⊥x轴于点D，$

$则 ∠AEC=∠CDB=90°.$

$∵点C(3,0)，B(6,m)，$

$∴OC=3，OD=6，BD=m，$

$∴CD=OD-OC=3.$

$∵△ABC是等腰直角三角形，$

$∴∠ACB=90°，AC=BC.$

$∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，$

$∴∠ACE=∠CBD，$

$∴△ACE≌△CBD(AAS)，$

$∴CD=AE=3，BD=EC=m，$

$∴OE=OC-EC=3-m，$

$∴点A的坐标是(3-m,3).$

$∵点A、B(6,m)恰好落在反比例函数y=\frac{k}{x}第一象限的图像上.\ $

$∴3(3-m)=6m，解得m=1，$

$∴点A的坐标是(2,3)，点B的坐标是(6,1)，$

$∴k=6m=6，$

$∴反比例函数的表达式是y=\frac{6}{x}，$

$设直线AB所对应的一次函数的表达式为y=px+q，$

$把点A和点B的坐标代入得，$

$\begin{cases}{ 2p+q=3, }\ \\ { 6p+q=1, } \end{cases}\ $

$解得\begin{cases}{ p=-\frac {1}{2}, }\ \\ { q=4, } \end{cases}\ $

$∴直线AB所对应的一次函数的表达式为$

$y=-\frac {1}{2}x+4.$

$解:如图，延长AE至点A第一行，使得EA'=AE，连接A'B交x轴于点P，连接AP，$

$∴点A与点A'关于x轴对称，$

$∴AP=A'P，A'(2,-3).$

$∵AP+PB=A'P+PB=A'B，$

$∴AP+PB的最小值是A'B的长度，$

$∴此时△ABP的周长为AP+PB+AB=AB+A'B最小，$

$设直线A'B的表达式是y=nx+t，$

$则\begin{cases}{ 2n+t=-3, }\ \\ { 6n+t=1, } \end{cases}\ $

$解得\begin{cases}{ n=1, }\ \\ {t=-5,\ } \end{cases}\ $

$∴直线A'B的表达式是y=x-5，$

$当y=0时，0=x-5，解得x=5，$

$即点P的坐标是(5,0)，$

$故当△ABP周长取最小值时点P的坐标为(5,0). $