解：$(1) $∵抛物线经过点$A(2，$$0)$
∴$0=4a +2b+c①$
∵对称轴是直线$x=1$
∴$ -\frac b{2a}=1②$
∵关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=x$有两个相等的实数根
∴$ △=(b-1)^2- 4ac=0 ③$
由①②③，可得$a= -\frac 12，$$b=1，$$c=0$
∴抛物线对应的函数解析式为$y=- \frac 12x^2+x$
$(2)$∵$ n<-5$
∴$3n-4<- 19，$$5n+6<- 19$
∴点$B，$$C$在对称轴，即直线$x=1$的左侧
∵$-\frac 12＜0$
∴抛物线的开口向下
当$x<1$时，$y$随$x$的增大而增大
由题意，易得$(3n-4)-(5n+6)=-2n- 10= - 2(n+5)>0$
∴$3n-4>5n+6$
∴$ y_1>y_2 $
$(3) $当点$B$在直线$x=1$的左侧，点$C$在直线$x=1$的右侧时
由题意，得$\begin{cases}3n-4＜1\\5n+6>1\\1-(3n-4)<5n+6-1\end{cases}$
解得$0＜n＜\frac 53$
当点$C$在直线$x=1$的左侧，点$B$在直线$x=1$的右侧时
由$\begin{cases}3n-4＞1\\5n+6＜1\\(3n-4)-1<1-(5n+6)\end{cases}$
不等式组无解
综上所述，$n$的取值范围是$0＜n＜\frac 53$
