解：$(1) \triangle A B C $是等腰直角三角形
在$ y=-\frac {1}{4} x^2+4 $中， 令$ x=0 ，$ 则$ y=4$
∴点$ C $的坐标为$ (0，$$4) $
令$ y=0 ，$ 则$ -\frac {1}{4} x^2+ 4=0 $
解得$ x_1=4，$$ x_2=-4 $
∴点$ A $的坐标为$ (-4，$$0) ，$ 点$ B $的 坐标为$ (4，$$0) $
∴$O A=O B=O C=4 $
又 ∵$C O \perp A B$
∴易得$ A C=B C，$$ \angle C A O=\angle C B O=45° $
∴$\angle A C B=90°$
∴$\triangle A B C $是等腰直角三角形
$(2) $∵$\triangle A B C $是等腰直角三角形， 四边形$ C D E F $是正方形
∴$A C=B C，$$ C D=C F，$$ \angle A C B=\angle F C D= 90° $
∴$\angle A C B-\angle D C B=\angle F C D-\angle D C B ，$ 即$ \angle A C D= \angle B C F $
在$ \triangle A C D $和$ \triangle B C F $中
$\begin{cases}A C=B C \\\angle A C D=\angle B C F \\C D=C F\end{cases}$
∴$\triangle A C D ≌ \triangle B C F $
∴$\angle C A D=\angle C B F=45° $
∴$\angle A B F= \angle A B C+\angle C B F=90° $
∴$B F \perp A B $
$(3) $如图， 过点$ E $作$ E H \perp x $轴于点$ H ，$ 连接$BE ，$ 则$ \angle D H E=90° $
∵四边形$ C D E F $为正方形
∴$C D=D E，$$ \angle C D E=90° $
∵$\angle C O D=90° $
∴$\angle O C D+\angle O D C=\angle H D E+\angle O D C=90° $
∴$\angle O C D= \angle H D E $
在$ \triangle O C D $和$ \triangle H D E $中
$\begin{cases}\angle C O D=\angle D H E=90°\\\angle O C D=\angle H D E \\C D=D E\end{cases}$
∴$\triangle O C D ≌ \triangle H D E $
∴$O D=H E，$$ O C=H D$
∵$O B=O C $
∴$O D+B D=O B=O C$
又 ∵$B H+B D=H D=O C$
∴$B H= O D=H E $
∴$\triangle B E H $是等腰直角三角形
∴由勾股定理， 易得$ B E=\sqrt {2}\ \mathrm {H} E=\sqrt {2}\ \mathrm {O} D $
∵点$ D $从点$ O $沿$ x $轴正方向移动到点$ B $
∴易得点$ E $所经过的路线长为$ B C $的长度， 是$ \sqrt {4^2+4^2}=4 \sqrt {2} $
