第4页 - 通城学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

证明：$(1)∵EF⊥DF，$

$∴∠DFE=90°，$

$∴∠BFE+∠DFC=90°，$

$∵∠B=90°，$

$∴∠BEF+∠BFE=90°，$

$∴∠BEF=∠DFC，$

$∵∠DFC=∠A，$

$∴∠BEF=∠A，$

$∴EF∥AD，$

$∵EF⊥DF，$

$∴AD⊥FD.$

$(2)$解：$∠O$不发生变化，

理由：

如图，延长$DF$交$OE$于点$M，$

由$(1)$得$∠BEF+∠FDC=90°，$

$∵∠BEF$和$∠CDF$的平分线相交于点$O，$

$∴∠MEF=\frac {1}{2}∠BEF，$$∠MDO=\frac {1}{2}∠FDC，$

$∴∠MEF+∠MDO=\frac {1}{2}(∠BEF+∠FDC)=\frac {1}{2}×90°=45°，$

$∵∠DMO=∠MEF+90°，$

$∴∠DMO+∠O+∠MDO=180°，$

$∴∠MEF+90°+∠O+∠MDO=180°，$

$∴45°+90°+∠O=180°，$

$∴∠O=45°.$

$解：(1) 如图①，过点 G 作 G H \perp A C 于点 H ，则 G H / / E F / / B C . $

$ ∴\angle H G B=\angle G B C， \angle F E G=\angle E G H， \angle C E F=\angle C=90° .$

$ ∵B D 平分 \angle A B C， E G 平分 \angle C E F， $

$∴\angle D B C=\frac {1}{2} \angle A B C= 20°， \angle F E G=\frac {1}{2} \angle C E F=45° . $

$∴\angle B G E=\angle H G B+\angle E G H= \angle D B C+\angle F E G=20°+45°=65° .$

$ (2)①如图②，过点 G 作 G H \perp A C 于点 H ，则 G H / / E F / / B C .$

$ 由 (1)，易知 \angle H G B= \angle G B C=\frac {1}{2} α， \angle H G E=\angle G E F=45° .$

$ ∴\angle B G E=\angle H G E- \angle H G B=45°-\frac {1}{2} α.$

$② 变化当点 E 在点 D 下方时， \angle G= 45°-\frac {1}{2} α； $

$当点 E 在点 D 上方时， \angle G=45°+\frac {1}{2} α.$