第74页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

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$解：(1)（更多请点击查看作业精灵详解）$

$(2)证明：连接CG，由(1)知，DB=CD$

$∵F 为BC的中点，∴DF 垂直平分BC$

$∴BG=CG$

$∵BE⊥AC$

$∴∠AEB=∠CEB= 90°$

$在△ABE和△CEB中$

$\begin{cases}{∠ABE=∠CBE }\\{BE=BE} \\ {∠AEB=∠CEB} \end{cases}$

$∴△ABE≌△CBE(\mathrm {ASA})$

$∴EC= EA$

$在Rt△CGE中，由勾股定理得CG²-GE²=CE²$

$∵CE=AE，BG=CG$

$∴BG²-GE²=EA²$

$解：如图，延长AE交BC于点F$

$∵AB⊥BC，AB⊥AD$

$∴AD//BC$

$∴∠D=∠C，∠DAE=∠CFE\ $

$又∵点E是CD的中点$

$∴DE=CE$

$在△AED与△FEC中$

$\begin{cases}{ ∠D=∠C}\\{∠DAE=∠CFE}\\{DE=CE}\end{cases}$

$∴△AED≌△FEC(\mathrm {AAS})$

$∴AE=FE，AD=FC$

$∵AD=5，BC=10$

$∴BF=5$

$在Rt△ABF 中，AB²+BF²=AF²$

$∴AF=13$

$∴AE=\frac{1}{2}AF=6.5$

$解：设AE=x\ \mathrm {\ \mathrm {km}}，则BE=(50-x)\ \mathrm {\ \mathrm {km}}$

$∵DA⊥AB，CB⊥AB$

$∴在Rt△ADE中，DE²=30²+x²$

$在Rt△CBE中，CE²=20²+(50-x)²$

$∵DE=CE$

$∴30²+x²=20²+(50-x)²$

$解得x=20，即AE=20\ \mathrm {\ \mathrm {km}}$

$∴市场E应建在距A 20\ \mathrm {\ \mathrm {km }}的位置$

$△DEC是等腰直角三角形，理由：$

$可知BE=50-20=30(\ \mathrm {\ \mathrm {km}})$

$∵AE=BC，AD=BE，∠A=∠B=90°$

$∴△ADE≌△BEC(\mathrm {SAS})$

$∴∠AED=∠BCE$

$∵∠BCE+∠BEC=90°$

$∴∠AED+∠BEC=90°$

$∴∠DEC=90°$

$∵DE=CE$

$∴△DEC是等腰直角三角形$

$解：(1)BH=AC，证明：$

$∵CD⊥AB，BE⊥AC$

$∴∠BDH=∠BEC=∠CDA= 90°$

$∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°$

$∴∠HBD=∠ACD$

$∵∠ABC=45°$

$∴∠BCD=180°- 90°-45°=45°=∠ABC$

$∴DB= DC$

$在△DBH和△DCA中$

$\begin{cases}{∠BDH=∠CDA }\\{BD=CD} \\ {∠HBD=∠ACD} \end{cases}$

$∴△DBH≌△DCA(\mathrm {ASA})$

$∴BH= AC$