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$解：(2)设BN=x，则MN=30- AM- BN=25- x$

$①当MN为斜边时，依题意得MN²=AM²+NB²$

$即(25-x)²=x²+25，解得x=12$

$②当BN为斜边时，依题意得BN²=AM²+MN²$

$即x²=25+(25-x)²$

$解得x=13$

$综上所述，BN的长为12或13$

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$证明：(2)∵△ABC≌△PMA$

$∴∠APM=∠CAB$

$而∠CAB+∠BAP=90°$

$∴∠APM+ ∠BAP=90°$

$∴∠ADP=90°$

$∴AB⊥PM$

$(3)（更多请点击查看作业精灵详解）$

$解：当∠B'EC= 90°时，则∠BEB' = 90°$

$∵长方形ABCD沿AE折叠，使点B落在点B'处$

$∴∠BEA=∠B'EA=45°$

$∴BE=AB=3$

$当∠EB'C= 90°时$

$在Rt△ABC中，∵AB=3，BC=4$

$∴AC= 5$

$∵长方形ABCD沿AE折叠，使点B落在点B'处$

$∴∠B=∠AB'E=90°，EB=EB，AB'=AB= 3$

$∵点A，B'，C共线，即点B'在AC上，$

$CB'=AC-AB'=5-3=2$

$设BE=x，则EB'=x，CE=4-x$

$∵EB'²+CB'²=CE²$

$∴x²+2²=(4-x)²$

$解得x=\frac{3}{2}$

$∴BE=\frac{3}{2}$

$综上所述：BE的长为3或\frac{3}{2}$

$解：(1)点M，N是线段AB的勾股分割点，$

$理由如下：$

$∵AM²+BN²=2.5²+6²=42.25，$

$MN²=6.5²=42.25$

$∴AM²+NB²=MN²$

$∴以AM，MN，NB为边的三角形是一个$

$直角三角形$

$∴点M，N是线段AB的勾股分割点$

$解：(3)存在$

$在△ABC中，∠C=90°$

$∵BC=6，AC=8$

$∴AB=\sqrt{BC²+AC²}=10$

$过点B作BH⊥AN于点H$

$则AH=BC=6，BH=AC=8$

$当AP=AB时，△ABP 是等腰三角形$

$∴t=10\ \mathrm {s}$

$当BP= BA时，△ABP 是等腰三角形$

$则AH= PH$

$∴AP=2AH= 12，∴t=12\ \mathrm {s}$

$当AP= PB时，△ABP 是等腰三角形$

$则PB=t$

$∴PH=t-6$

$在Rt△PBH中，∵PH²+BH²=PB²$

$∴(t-6)²+8²=t²$

$解得t=\frac{25}{3}$

$综上所述，t 的值为10或12或\frac{25}{3}时，△ABP 是等腰三角形$

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