第25页 - 创新优化学案八年级数学苏科版

$ 证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AE,DF⊥AF$

$∴DE=DF$

$在Rt△DBE和Rt△DCF中$

${{\begin{cases} {{DB=DC}} \\ {DE=DF} \end{cases}}}$

$∴Rt△DBE≌Rt△DCF (HL)$

$∴EB=FC$

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$证明: 在AB上截取AF=AD并连接EF$

$又∵AB=AD+BC$

$∴BF=BC$

$在△ADE和△AFE中$

${{\begin{cases} {{AD=AF}} \\ {∠1=∠2} \\ {AE=AE} \end{cases}}}$

$∴△ADE≌△AFE(SAS)$

$∴DE=FE$

$又∵E为CD中点$

$∴DE=CE$

$∴FE=CE$

$在△BEF和△BEC中$

${{\begin{cases} {{BE=BE}} \\ {BF=BC} \\ {EF=EC} \end{cases}}}$

$∴△BEF≌△BEC(SSS)$

$∴∠EBF=∠EBC$

$∴BE平分∠ABC$

$解:∵∠DAE=∠BAC$

$∴∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAC$

$即∠EAC=∠BAD$

$在△BAD和△CAE中$

${{\begin{cases} {{AB=AC}} \\ {∠BAD=∠CAE} \\ {AD=AE} \end{cases}}}$

$∴△BAD≌△CAE(SAS)$

$∴∠ABD=∠ACE$

$∴∠DCE=180°-∠BCA-∠ACE$

$=180°-∠BCA-∠ABD=∠BAC=25°$

解:①α=β,理由如下:

与(1)同理可证得△BAD≌△CAE

∴∠ABD=∠ACE

∴∠DCE=180°-∠BCA-∠ACE

=180°-∠BCA-∠ABD=∠BAC

即β=α

②

如图①,点D在线段BC上时,α+β=180°
如图②，当点D在线段BC延长线或反向延长线上时，α=β