$解：连接OA，过点O作OD⊥AB 于点D，$
$OE⊥ AC于点E$
$则∠ODA=∠OEA=90°，AD=\frac{1}{2}AB，$
$AE=\frac{1}{2}\ \mathrm {AC}$
$∵AB=2 \sqrt{2}，AC=2 \sqrt{3}$
$∴AD= \sqrt{2}，AE= \sqrt{3}$
$∵⊙O的半径为2$
$∴OA=2$
$∴OD= \sqrt{OA²-AD²}=\sqrt{2}，$
$OE= \sqrt{OA²-AE²}=1$
$∴OD=AD，OE=\frac{1}{2}OA$
$∴∠OAD=∠AOD=\frac{1}{2}(180°-∠ODA)=45°，$
$∠OAE=30°$
$① 如图①，当圆心 O 在∠BAC 内部时$
$∠BAC=∠OAD+∠OAE=75°$
$∴∠BOC=2∠BAC=150°$
$②如图②，当圆心O在∠BAC外部时$
$∠BAC=∠OAD-∠OAE=15°$
$∴∠BOC=2∠BAC=30°$
$综上所述，∠BOC的度数为150°或30°$
