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-6或2

-1≤x≤2

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解：$(3)$∵$(|x-1|+|x-3|)(|y-2|+|y+1|)=6$

又$|x-1|+|x-3|$的最小值为$2$，$|y-2|+|y+1|$的最小值为$3$

∴$|x-1|+|x-3|=2$，$|y-2|+|y+1|=3$

∴$1≤x≤3$，$-1≤y≤2$

∴$x+2y$的最大值是$7$，最小值是$-1$

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