$ 解： \because 四边形 A B C D 是菱形， $
$ \therefore A B=5， A C \perp B D， A C=2\ \mathrm {A} O， B D=2\ \mathrm {B} O .\therefore \angle A O B=90^{\circ} .$
$ \therefore A O^2+B O^2=A B^2=5^2=25 .$
$ \because 对角线 A C 、 B D 的长分别是一元二次方程 x^2-2(m+1) x+8\ \mathrm {m}=0 的两个实数根， $
$ \therefore 2\ \mathrm {A} O+2\ \mathrm {B} O=2(m+1)， 2\ \mathrm {A} O \cdot 2\ \mathrm {B} O=8\ \mathrm {m} . $
$ \therefore A O+B O=m+1， A O·B O=2\ \mathrm {m} .$
$ \therefore A O^2+B O^2=(A O+B O)^2-2\ \mathrm {A} O \cdot B O=25 . $
$ \therefore(m+1)^2-4\ \mathrm {m}=25，解得 m_1=6， m_2=-4.$
$ 当 m=-4 时， A O \cdot B O=-8\lt 0， 不符合题意， 舍去， 即 m=6， $
$ 则 A O \cdot B O=12， A C \cdot B D=2\ \mathrm {A} O \cdot 2\ \mathrm {B} O=4\ \mathrm {A} O \cdot B O=48 .$
$ \because D H 是 A B 边上的高，\therefore S_{菱形 A B C D}=A B \cdot D H=\frac {1}{2}\ \mathrm {A} C \cdot B D，$
$ 即 5\ \mathrm {D} H=\frac {1}{2} \times 48 .$
$ \therefore D H=\frac {24}{5}$
