$ 证明:∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60° $ $ ∵M为BC的中点， ∴AM⊥BC,∠BAM=\frac{1}{2}∠BAC=30° $ $ ∵MN⊥AB,∴AM=2MN $ $解:在△ABC中， ∵∠BAC=90°,∠C=30°,AD是△ABC的高$ $∴∠ADB=90°,∴∠BAD=∠C=30°$ $∴在Rt△ABC中，AB=\frac{1}{2}BC=2$ $在Rt△ABD中,BD=\frac{1}{2}AB=1$ $∴BD的长为1$ $(2)解:∵DC=DE,CD=3,∴DE=3$ $∵∠B=30°,DE⊥AB,∴BD=2DE=6$
$证明:∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB\ $ $∴∠DAB=∠DBA=30°\ $ $∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAD=∠BAD=30°\ $ $∵DC⊥AC,DE⊥AB,∴DC=DE $
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