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$证明： ∵AE⊥EC，F为AC的中点$

$∴EF=AF=FC$

$∴∠FEC=∠FCE$

$∵CD是△ABC的角平分线$

$∴∠BCD=∠FCE$

$∴∠BCD=∠FEC$

$∴EF//BC$

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$ 解：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠ACB$

$∵∠A=180°－∠B－∠ACB，$

$∠BCD=180°－∠B－∠BDC$

$又∠BCD=∠A∴∠ACB=∠B=∠BDC$

$∴CD=CB$

$解：连接CE$

$∵△ABC是等边三角形$

$∴AC= BC，∠ACB = 60°$

$在△BCE和△ACE中$

$\begin{cases}BC= AC\\BE= AE\\CE= CE\end{cases}$

$∴△BCE≌△ACE(\mathrm {SSS})$

$∴ ∠BCE=∠ACE=\frac 12∠ACB= 30°$

$∵ BE平分∠DBC$

$∴∠DBE= ∠CBE$

$∵BD= AC$

$∴BD= BC$

$在△BDE和△BCE中$

$\begin{cases}BD= BC\\∠DBE= ∠CBE\\BE= BE\end{cases}$

$∴△BDE≌△BCE(\mathrm {SAS})$

$∴∠BDE=∠BCE= 30° $

$解：(2)①∵BE⊥AC$

$∴∠BEC=90°$

$∴∠CBE=90°－∠ACB$

$∵∠A=180°－2∠ACB$

$又∠A=∠BCD$

$∴∠BCD=2∠CBE$

$②设∠CBE=α$

$∵∠BFD是△CBF 的一个外角\ $

$∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α $

$分三种情况：$

$当BD=BF 时，$

$∴∠BDC=∠BFD=3α\ $

$∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°-α$

$∴90°-α=3α$

$∴α=22.5°$

$∴∠A=∠BCD=2α=45°$

$当DB=DF 时$

$∴∠DBE=∠BFD=3α$

$∵∠DBE=∠ABC-∠CBE$

$=90°-α-α$

$=90°-2α$

$∴90°-2α=3α$

$∴α=18°$

$∴∠A=∠BCD=2α=36°$

$当FB=FD时$

$∴∠DBE=∠BDF$

$∵∠BDF=∠ABC\gt ∠DBF$

$∴不存在FB=FD$

$综上所述：∠A的度数为45°或36° $

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