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$16+6 \sqrt{2},$

$解：( 1 ) ∵四边形ABCD为正方形$

$∴∠ABC=∠DCB=90°∴EB，FC为半圆的切线$

$∵EF与半圆相切于点G$

$∴EB=EG，FC=FG.$

$∴C_{四边形AEFD}=AE+EG+FG+FD+AD$

$=( AE+EB ) +( FC+FD ) +AD$

$=AB+CD+AD$

$=3a，$

$即四边形AEFD的周长为3a$

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$解：( 2 ) 过点F作FH⊥AB，垂足为点H$

$在Rt△FHE中，$

$∵∠BEF=60°$

$∴∠HFE=90°-60°=30°$

$∴EF=2EH，FH=\sqrt{3}EH$

$∵FH=BC=a$

$∴EH=\frac {\sqrt{3}}{3}a，$

$EF=\frac {2\sqrt{3}}{3}a$

$∴C_{四边形EBCF}$

$=EB+CF+EF+BC$

$=EG+FG+EF+BC$

$=2EF+BC$

$=(\frac {4\sqrt{3}}{3}+1)a，$

$即边形EBCF的周长为(\frac {4\sqrt{3}}{3}+1)a $

$解：∵ AC⊥BC，$

$∴∠ACB = 90°，$

$∵ BC=4，AC= 3，$

$∴AB= 5$

$连接OD、OE；$

$∴AC、BE是O的切线，$

$∴∠ODC=∠OEC=∠DCE= 90°；$

$∴四边形ODCE是矩形；$

$∵OD = OE，$

$∴矩形ODCE是正方形；$

$即OE= OD= CD；$

$设CD= CE=x，$

$则AD= AF=3- x；$

$连接OB， OF，$

$由勾股定理得：\ $

$BF^2 = OB^2 - OF^2，\ $

$BE^2 =OB^2 - OE^2$

$∵ OB= OB， OF= OE，$

$∴ BF= BE，$

$则BA+ AF= BC +CE，$

$\ 5+3-x=4+x，$

$即x = 2；$

$故⊙O的半径为2. $

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