解：$(1)$设经过$t $秒后$PM=OA$
∵$OA=4$，$PM=2t$
∴$2t=4$
∴$t=2$
∴经过$2$秒后$PM=OA.$
$(2)$∵以$A$、$O$、$Q$、$P $为顶点的四边形的面积是$12\ \mathrm {cm}²$
∴$AP+OQ=12×2÷4=6$
当点$P $在$y$轴右侧时
∵$AP=9-2t$，$OQ=t$
∴$9-2t+t=6$
∴$t=3$
∴$P(3$，$4).$
当$P $在$y$轴左侧时
$AP=2t-9$
∴$2t-9+t=6$
∴$t=5$
∴$P(-1$，$4)$
综上所述：$P $点的坐标为$(3$，$4)$或$(-1$，$4).$
