解：$(1) $∵一次函数$ y=k x+4 $的图象经过点$ (-3$，$-2)$，
∴$-3\ \mathrm {k}+4=-2$，
∴$k=2$，
∴函数表达式$ y=2 x+4$；
$(2)$函数图像如图所示：
$(3)$把$ (-5$，$3) $代入$ y=2 x+4$，
∵$-10+4=-6 \neq 3$，
∴$(-5$，$3) $不在此函数的图象上；
$(4) $∵把这条直线向下平移$ 4 $个单位，
∴函数关系式是：$ y=2 x$；
