证明：$(1) $过点$ O $分别作$ O E \perp A B $于$ E$，
$O F \perp A C $于$ F$，
由题意知，
在$ R t \triangle O E B $和$ R t \triangle O F C $中
$\begin {cases}{O B=O C}\\{O E=O F}\end {cases}$
∴$R t \triangle O E B \cong R t \triangle O F C(H L)$，
∴$∠A B C=∠A C B$，
∴$A B=A C $；
$(2)$过点$ O $分别作$ O E \perp A B $于$ E$，$ O F \perp A C $于$ F$，
由题意知，$ O E=O F $，$∠B E O=∠C F O=90°$
∵在$ Rt \triangle O E B $和$Rt \triangle O F C $中
$\begin {cases}{O B=O C}\\{O E=O F}\end {cases}$
∴$Rt \triangle O E B \cong R t \triangle O F C(H L)$，
∴$∠O B E=∠O C F$，
又 ∵$O B=O C$，
∴$∠O B C=∠O C B$，
∴$∠A B C=∠A C B$，
∴$A B=A C $；
$(3)$不一定成立，$ $当$ ∠A $的平分线所在直线与边$ B C$
的垂直平分线重合时$ A B=A C$，$ $否则$ A B \neq A C.$
