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$\frac{1}{2}$

$\sqrt{5}$

2

$证明:(1)∵E是AB的中点，$

$∴AE=BE.$

$∵ DF=BF,$

$∴EF是△ABD的中位线.$

$∴EF//AD,即CF//AD.\ $

$∵AF//CD,$

$∴四边形AFCD为平行四边形$（更多请点击查看作业精灵详解）

$证明:(1)如图，连接OC.$

$∵直线DC是⊙O的切线，$

$∴OC⊥DC.$

$∵AE⊥DC,$

$∴OC//AE.$

$∴∠EAC=∠ACO.$

$∵OC=OA,$

$∴∠ACO=∠OAC.$

$∴∠EAC=∠OAC.$

$∴AC平分∠BAE$

（更多请点击查看作业精灵详解）

$解:(2)由(1)，知EF是△ABD的中位线，$

$\ ∴AD=2EF=2.\ $

$∵ ∠EFB=90°,tan∠FEB=\frac{BF}{EF}=3，$

$∴BF=3EF=3×1=3.$

$∵DF=FB，$

$∴DF=BF=3.\ $

$∵ AD//CE,\ $

$∴ ∠ADF = ∠EFB = 90°.\ $

$∴ AF =\sqrt{AD²+DF²}= \sqrt{13}$

$∵ 四边形AFCD 为平行四边形，$

$∴CD=AF= \sqrt{13}.$

$∵DF=BF,CE⊥BD,$

$∴BC=CD= \sqrt{13}$

$解：(2)如图，连接BC.$

$∵ AB是⊙O的直径， $

$∴ ∠ACB=90°，$

$∴ 在△ACB中，∠ABC+∠OAC=90°。$

$∵ AE⊥DC，$

$∴ 在△AEC中，∠EAC+∠ACE=90°.$

$由(1)，得∠EAC=∠OAC$

$∴ ∠ABC=∠ACE，$

$∴ tan ∠ABC= tan ∠ACE= \frac {3}{4}$

$∵ 在 Rt △ACB中， tan ∠ABC= \frac {AC}{BC} ，$

$AC=5，$

$∴ \frac {5}{BC} = \frac {3}{4} ，$

$解得BC= \frac {20}{3}$

$∴ 在Rt△ABC中，AB= \sqrt{AC²+BC²} = \frac {25}{3} .$

$∴⊙O的半径为 \frac {1}{2}\ \mathrm {AB}= \frac {25}{6}$

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