$解:(1)CD与⊙O相切 理由:$ $连接OD. ∵ OD=OB，$ $∴∠ODB =∠CBD.\ $ $∵ ∠CDA =∠CBD,\ $ $∴ ∠CDA =∠ODB.$ $∵AB为⊙O的直径，$ $∴∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°.$ $∴∠ADO+∠CDA=90°$ $∴∠CDO=90°,即OD⊥CD.$ $∵OD是⊙O的半径，$ $∴ CD与⊙O相切.$ （更多请点击查看作业精灵详解）
$解:过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E,$ $则∠E=90°.$ $∵在Rt△BED中，sin∠DBC=\frac{DE}{BD} =\frac{\sqrt{3}}{3},$ $BD=2\sqrt{6},$ $∴DE=2 \sqrt{2}$ $∴BE= \sqrt{BD²-DE²}=4.$ $在Rt△DCE中，$ $∵ CD=3,$ $∴CE= \sqrt{CD²-DE²}=1.$ $∴BC=BE-CE=3.$ $∴BC=CD.$ $∴∠CBD=∠CDB.$ $∵BD平分∠ABC，$ $∴∠ABD=∠CBD.$ $∴∠ABD=∠CDB$ $.∴AB//CD.$ $∵AB=AD,$ $∴∠ABD=∠ADB.$ $∴∠ADB=∠DBC.$ $∴AD//BC.$ $∴四边形ABCD是平行四边形.$ $又∵AB=AD,$ $∴四边形ABCD是菱形$ $∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO=\frac{1}{2}\ \mathrm {BD}= \sqrt{6}$ $∴在Rt△BOC 中，OC= \sqrt{BC²-BO²}=\sqrt{3}$ $∴AC=2OC=2\sqrt{3}$
$解:(2)∵∠CDA=∠CBD, tan∠CDA = \frac{1}{2},\ $ $∴ tan∠CBD = \frac{1}{2}\ $ $∴ 在 Rt△ADB中,tan∠CBD=\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}$ $∵∠C=∠C,∠CDA=∠CBD,$ $∴△CAD∽△CDB.$ $∴\frac{CA}{CD}=\frac{CD}{CB}=\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}$ $∴CD=2CA=4.\ $ $∴ CB=2CD=8.\ $ $∴AB=CB-CA=8-2=6.$ $∴OA=OB=\frac{1}{2}AB=3，$ $即⊙O的半径为3$
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