电子课本网 › 第60页

第60页

信息发布者：

$\frac{17}{2} $

5

$证明:(1)连接BD、AC交于点O$

$∵AB//CD,AD//BC$

$∴四边形ABCD是平行四边形$

$∵四边形ABCD中$

$点 E、F、G、H分别是各边的中点$

$∴GF//BD,HG//AC$

$∵四边形EFGH是矩形， ∴HG⊥GF$

$∴BD⊥AC,∴ 四边形 ABCD是菱形$

$(2)∵四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是各边的中点$

$∴GF= EH=\frac{1}{2}BD,HG=EF=\frac{1}{2}AC$

$∵ 矩形 EFGH 的周长为22,∴BD+AC=22$

$∵四边形ABCD是菱形$

$∴\frac{1}{2}BD+\frac{1}{2}AC=OB+OA=11$

$∵四边形ABCD的面积为10$

$∴\frac{1}{2}BD×AC=10，即2OA×OB=10$

$∵(OA+OB)^{2}=OA^{2}+2OA×OB+OB^{2}=121$

$∴OA^{2}+OB^{2}=121-10=111$

$∴AB=\sqrt {OA^{2}+OB^{2}}= \sqrt{111}$

（更多请点击查看作业精灵详解）

$解:如图①，连接BD，取BD的中点H$

$连接HE、FH$

$∵E、H分别是AD、 BD的中点$

$∴EH//AB,EH=\frac{1}{2}AB$

$∴∠BME=∠HEF$

$∵F、H分别是BC、BD的中点$

$∴FH//CD,FH=\frac{1}{2}CD$

$∴ ∠CNE=∠HFE$

$∵AB=CD,∴HE=FH$

$∴∠HEF=∠HFE,∴∠BME=∠CNE$

$问题一:△OMN为等腰三角形$

$问题二:△AGD是直角三角形$

$证明:如图③，连接BD，取BD的中点H$

$连接HF、HE$

$∵F是AD的中点,∴HF//AB,HF=\frac{1}{2}AB$

$同理，HE//CD，HE=\frac{1}{2}CD$

$∵AB=CD,∴HF=HE$

$∵∠EFC=60°，∴∠HEF=60°$

$∴∠HEF=∠HFE=60°$

$∴△EHF是等边三角形$

$∴∠AGF=∠HFE=∠EFC=∠AFG=60°$

$∴△AGF是等边三角形$

$∵AF=FD,∴GF=FD$

$∴∠FGD=∠FDG=30°,∴∠AGD=90°$

$即△AGD是直角三角形$

$问题三:如图④，连接BD，取BD的中点H$

$连接EH、HF$

$∵E、F分别是AD、BC的中点$

$∴EH//AB,EH=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$

$HF//CD,HF=\frac {1}{2}CD=6$

$∴ ∠HEF=∠BMF,∠HFE=∠CNF$

$又∵ EF=\frac{13}{2},∴EF^{2}=\frac{169}{4}$

$∵ EH^{2}=\frac{25}{4},HF^{2}=36EH^{2}+HF^{2}=\frac{169}{4}$

$∴ EF^{2}=EH^{2}+HF^{2}$

$∴△EHF是直角三角形，∴∠EHF=90°$

$∴ ∠HEF+∠HFE=90°,∴∠BMF+∠CNF=90°$

上一页下一页