$证明:(1)∵四边形APCD是正方形$ $∴PD平分∠APC,PC=PA$ $∴∠APD=∠CPD=45°$ $又PE=PE,∴△AEP≌△CEP(SAS)$ $(2)CF⊥AB,理由如下:$ $设CF与AP交于点M$ $∵△AEP≌ △CEP,∴∠EAP=∠ECP$ $∵∠EAP=∠BAP,∴∠BAP=∠FCP$ $∵∠FCP+∠CMP=90°,∠AMF=∠CMP$ $∴∠AMF+∠BAP=90°,∴∠AFM=90°$ $∴CF⊥AB$ $(3)（更多请点击查看作业精灵详解）$ $解:∵AC是四边形ABCD的和谐线$ $且AB=BC,∴△ACD是等腰三 角形$ $∵在等腰直角三角形ABD中$ $AB=AD,∴AB=AD=BC$ $如图①，当AD=AC时,AB=AC=BC$ $∴△ABC是等边三角形$ $\ ∴∠ABC=60°$
$如图②,当DA=DC时，AB=AD=BC=CD$ $∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD是正方形$ $∴∠ABC=90°$
$如图③，当CA=CD时，过点C作CE⊥AD于点E$ $过点B作BF⊥CE于点F$ $∵AC=CD,CE⊥AD,∴AE=ED,∠ACE=∠DCE$ $∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°,∴ 四边形ABFE是矩形$ $∴BF=AE$ $∵AB=AD=BC,∴BF=\frac{1}{2}BC,∴∠BCF=30°$ $∵AB=BC,∴∠ACB=∠BAC$ $∵AB//CE,∴∠BAC=∠ACE$ $∴∠ACB=∠BAC=\frac{1}{2}∠BCF=15°$ $∴∠ABC=180°-15°×2=150°$ $\ 综上所述，∠ABC的度数为60°或90或150°$
$解:作CN⊥BG于点N$ $∴∠CNP=90°,∴∠PCN+∠CPN= 90°$ $∵∠APC=90°,∴∠APB+∠CPN=90°$ $∴∠PCN=∠APB$ $在△ABP 和△PNC 中$ $\ \begin{cases}{∠B=∠PNC\ }\ \\ {\ ∠APB=∠PCN} \\{ AP=PC} \end{cases}$ $∴ △ABP≌△PNC(AAS)$ $∴PB=CN,PN=AB=8$ $∵∠CNP=∠B=∠CFB=90°$ $∴四边形BFCN是矩形$ $∴CN=BF,CF=BN,∴PB=BF$ $∵△AEP≌△CEP,∴EC=EA$ $∴△AEF的周长$ $=EA+EF+AF=EC+EF+AF$ $=CF+AF=BN+AF$ $=(8+PB)+(8-BF)=16 $
$解:连接GH，由(1)得AG=BH,AG//BH,∠B=90°$ $∴四边形ABHG 是矩形$ $∴GH=AB=6,则AC= \sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=10$ $如图①,当四边形EGFH是矩形时$ $则EF=GH=6$ $∵AE=CF=t,∴EF=10-2t=6，∴t=2$
$如图②，当四边形EGFH是矩形时$ $∵EF=GH=6,AE=CF=t$ $∴EF=t+t-10=2t-10=6，∴t=8$ $综上，当四边形EGFH为矩形时，t=2或8$
$解:如图③，连接AH、CG、GH$ $AC与GH交于点O,M为AD边的中点$ $N为BC边的中点$ $∵四边形EGFH为菱形,∴GH⊥EF$ $OG=OH,OE=OF$ $∴OA=OC,AG=AH$ $∴四边形AGCH为菱形,∴AG=CG$ $设AG=CG=x，则DG=8-x$ $由勾股定理可得CD^{2}+DG^{2}=CG^{2}$ $解得x=\frac{25}{4}$ $∴MG=AG-AM=\frac{25}{4}-4=\frac{9}{4}$ $即t=\frac{9}{4}$ $∴当四边形EGFH为菱形时，t=\frac{9}{4} $
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