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平行四边形

C

假

$证明:(1)∵四边形APCD是正方形$

$∴PD平分∠APC,PC=PA$

$∴∠APD=∠CPD=45°$

$又PE=PE,∴△AEP≌△CEP(SAS)$

$(2)CF⊥AB,理由如下:$

$设CF与AP交于点M$

$∵△AEP≌ △CEP,∴∠EAP=∠ECP$

$∵∠EAP=∠BAP,∴∠BAP=∠FCP$

$∵∠FCP+∠CMP=90°,∠AMF=∠CMP$

$∴∠AMF+∠BAP=90°,∴∠AFM=90°$

$∴CF⊥AB$

$(3)（更多请点击查看作业精灵详解）$

（更多请点击查看作业精灵详解）

$解:∵AC是四边形ABCD的和谐线$

$且AB=BC,∴△ACD是等腰三角形$

$∵在等腰直角三角形ABD中$

$AB=AD,∴AB=AD=BC$

$如图①，当AD=AC时,AB=AC=BC$

$∴△ABC是等边三角形$

$\ ∴∠ABC=60°$

$如图②,当DA=DC时，AB=AD=BC=CD$

$∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD是正方形$

$∴∠ABC=90°$

$如图③，当CA=CD时，过点C作CE⊥AD于点E$

$过点B作BF⊥CE于点F$

$∵AC=CD,CE⊥AD,∴AE=ED,∠ACE=∠DCE$

$∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°,∴ 四边形ABFE是矩形$

$∴BF=AE$

$∵AB=AD=BC,∴BF=\frac{1}{2}BC,∴∠BCF=30°$

$∵AB=BC,∴∠ACB=∠BAC$

$∵AB//CE,∴∠BAC=∠ACE$

$∴∠ACB=∠BAC=\frac{1}{2}∠BCF=15°$

$∴∠ABC=180°-15°×2=150°$

$\ 综上所述，∠ABC的度数为60°或90或150°$

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